Il problema di Monty Hall5 min di lettura

Vi siete mai chiesti cosa sia realmente la matematica? O a cosa serva oltre che a dare il resto al supermercato? Molto spesso i ragazzi associano istintivamente questa parola ad una serie di numeri e lettere legate tra di loro da simboli, come quelli delle 4 operazioni. La matematica però non è solo questo: è logica, è riflessione, è saper mettere in discussione e cambiare le proprie scelte utilizzando la razionalità. Per spiegare queste affermazioni, esemplare è il problema di Monty Hall.   

Monty Hall è lo pseudonimo di Maurice Halprin, conduttore del gioco a premi “Let’s make a deal” da cui il gioco prende origine. Esso consiste in una scelta determinante: seguire l’istinto o affidarsi alla razionalità? È proprio qui che nascono i problemi.

Cos’è il problema di Monty Hall?

In questo programma televisivo il quiz inizia con tre porte chiuse: dietro una porta c’è una macchina e dietro le altre due c’è una capra. L’obiettivo del concorrente è senza dubbio quello di vincere l’auto, aprendo la porta corrispondente. In termini di probabilità, il giocatore ha 2 possibilità su 3 di scegliere la porta con la capra (all’incirca 66%), mentre 1 su 3 (circa il 33%) di indicare quella con l’auto. Inizialmente il conduttore chiede al concorrente di scegliere una delle tre porte, poi delle due rimanenti ne apre una dietro la quale c’è sicuramente una capra (non dimentichiamoci che il conduttore sa dove si trova l’auto e apre appositamente la porta con la capra dietro). Si arriva così al momento clou: il presentatore offre al concorrente la possibilità di cambiare la porta scelta inizialmente, questo è appunto chiamato il problema di Monty Hall.

Come bisogna comportarsi?

Che cosa fare: rimanere radicati nelle proprie convinzioni oppure utilizzare la logica? Apparentemente il problema di Monty Hall potrebbe sembrare abbastanza semplice, e quindi parrebbe essere ininfluente puntare su una porta rispetto ad un’altra, perché la possibilità di vincere rimarrebbe 1 su 2 (il 50%).

Un occhio più attento, invece, noterà che la possibilità di vincere cambia notevolmente. Com’è possibile? Non è evidente che se rimangono due porte la possibilità è del 50%? A quanto pare la risposta non è così immediata. Inizialmente la possibilità di vincere la macchina è di 1 su 3, ma ricordando che viene rivelata la posizione di una capra, lo scenario cambia. Un’informazione essenziale viene fornita al giocatore e la probabilità di vincere l’auto diventa di 2 su 3. Per spiegare il perché analizziamo i possibili casi che si presentano al giocatore rimasto con due porte:

• 1. Dietro la porta scelta in partenza c’è una delle due capre. Il giocatore cambia e vince l’auto.  
• 2. Dietro la porta di partenza c’è l’altra capra. Il giocatore cambia e vince l’auto.      
• 3. Dietro la porta di partenza c’è l’auto. Il giocatore cambia e perde la macchina.

Come si può evincere da questa spiegazione le possibilità si sono totalmente capovolte e la scelta più conveniente è quella di cambiare porta, perché così la probabilità di vincita raddoppia.

Impressionante… Ma a cosa serve?

La soluzione al problema di Monty Hall sembra un concetto così astratto, come del resto paiono tutte le situazioni matematiche: non ha nessuna applicazione (a parte in questo caso il gioco televisivo).

Eppure come abbiamo visto poco fa, è oggettivo che sia meglio scegliere di cambiare la scelta iniziale, è dimostrato. Quindi anche un qualcosa di astratto può essere veritiero, ma qui arriva la domanda: cosa rende qualcosa astratto? Cosa rende qualcosa inapplicabile?

Ebbene tutto è utilizzabile nella vostra vita, vi faccio un pratico esempio; gli aforismi sono frasi profonde, difficili e soprattutto estremamente astratte eppure… quei modi di pensare possiamo renderli una nostra filosofia, possono influenzare le nostre future scelte pur essendo semplici e frivole parole.

Alla matematica, se proprio vogliamo ignorare l’utilità in campo scientifico, possiamo attribuire almeno un significato morale, filosofico: in questo caso di Monty Hall, possiamo vedere come  a volte cambiare idea all’ultimo sia la cosa più saggia. Molti una volta che si fanno un’idea sono duri a cambiarla, hanno la mente chiusa, ma non sempre (quasi mai) la prima scelta è la migliore.

Facciamo un esempio, stai cercando una penna, una penna buona e ti fai le tue ricerche dato che non ne sai molto a riguardo, e sei aperto ai suggerimenti altrui; alla fine trovi una penna che sembra l’ideale e anche i tuoi amici sono d’accordo: sembra la penna perfetta.

La compri e diventi un grande fan di questa penna, ne parli sempre bene con le altre persone, finché viene prodotta una nuova tipologia di penna che tutti descrivono benissimo, ma tu rimani della tua idea, la tua è sicuramente meglio. 

Ebbene magari la tua era una penna stilografica eccellente ma quella nuova era una penna a sfera. Sì sembra una situazione totalmente differente, eppure l’avversità a cambiare idea è la stessa, la stessa situazione di chi partecipa al programma televisivo, la stessa che è capitata a tutti appena sono venuti a sapere di questo paradosso: ”No, non è possibile, la probabilità è sempre la stessa”. Probabilmente questa innata avversione a questo problema è causata dal nostro astio nei confronti di qualcosa che prova la fallacia delle prime scelte, dato che ammettono uno sbaglio; poichè, diciamocelo, siamo umani e abbiamo paura di sbagliare.